Question

已知點(diǎn)A，D分別是橢圓（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的最大值是1，最小值是，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線L：x=分別交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長(zhǎng)度的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在T點(diǎn)，使得△TSB的面積是？若存在，確定點(diǎn)T個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè) P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則（-c-x，-y），（c-x，-y），
∴=x²+y²-c²，
∵P在線段AD上，
∴x²+y²可以看成線段AD上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，
結(jié)合圖形可以知道當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到A時(shí)x²+y²最大，最大值為a²，
所以=x²+y²-c²的最大值為a²-c²=b²，
當(dāng)OP⊥AD時(shí)，x²+y²取得最小，最小值運(yùn)用等面積法可得到x²+y²的最小值為，
所以=x²+y²-c²的最小值為，
又的最大值是1，最小值是，
故有，解得a²=4，
所以橢圓方程為；
（Ⅱ）直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，
故可設(shè)直線的方程為y=k（x+2），
從而，
由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
設(shè)S（x₁，y₁），
則，得，從而，
又B（2，0），得，所以，
又k＞0，故|MN|=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)取最小值時(shí)，
此時(shí)BS的方程為2x+y-4=0，，
∴，
要使橢圓上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，
所以點(diǎn)T在平行于BS且與BS距離等于的直線l′上，
設(shè)直線l′的方程為2x+y+c=0，
則由，解得c=-3或c=-5，
當(dāng)c=-3時(shí)，由得Δ=128＞0，故直線l′與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
當(dāng)c=-5時(shí)，由得Δ=-128＜0，故直線l′與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)；
綜上所述，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上僅有兩個(gè)點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于。