Question

設(shè)P₁，P₂，…P_n為平面α內(nèi)的n個點(diǎn)，在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到點(diǎn)P₁，P₂，…P_n的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為P₁，P₂，…P_n的一個“中位點(diǎn)”，例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)，現(xiàn)有下列命題：
①若三個點(diǎn)A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；
②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；
③若四個點(diǎn)A、B、C、D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；
④梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．
其中的真命題是    （寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

【答案】分析：對于①若三個點(diǎn)A、B、C共線，C在線段AB上，利用兩點(diǎn)之間線段最短，則C是A，B，C的中位點(diǎn)，正確；
對于②舉一個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和為7，據(jù)此進(jìn)行判斷即可；
對于③若四個點(diǎn)A、B、C、D共線，則它們的中位點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線段上的任意一個點(diǎn)，從而它們的中位點(diǎn)存在但不唯一；
④如圖，在梯形ABCD中，對角線的交點(diǎn)O，P是任意一點(diǎn)，利用根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．
解答：解：①若三個點(diǎn)A、B、C共線，C在線段AB上，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則C是A，B，C的中位點(diǎn)，正確；
②舉一個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和為7，
∴直角三角形斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；故錯誤；
③若四個點(diǎn)A、B、C、D共線，則它們的中位點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線段上的任意一個點(diǎn)，故它們的中位點(diǎn)存在但不唯一；故錯誤；
④如圖，在梯形ABCD中，對角線的交點(diǎn)O，P是任意一點(diǎn)，則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，
∴梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．正確．
故答案為：①④．
點(diǎn)評：本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用、新定義的應(yīng)用、三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．