Question

已知點P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上的動點，F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0）為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點，且F₁M⊥MP，則|OM|的取值范圍是（　　）

A．（0，c）

B．（0，a）

C．（b，a）

D．（c，a）

Answer 1

分析：利用M是∠F₁PF₂平分線上的一點，且F₁M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉化為用橢圓上點的橫坐標表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍．

解答：解：如圖，延長PF₂，F(xiàn)₁M，交與N點，∵PM是∠F₁PF₂平分線，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點，
連接OM，∵O為F₁F₂中點，M為F₁N中點
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)中，設P點坐標為（x₀，y₀）
則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀-a+ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P點在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵當|x₀|=a時，F(xiàn)₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故選A．

點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，屬于基礎題．