Question

函數(shù)g（x）=log₂

2x

x+1

（x＞0），關(guān)于方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A、（-∞，4-2

  7

  ）∪（4+2

  7

  ，+∞）
• B、（4-2

  7

  ，4+2

  7

  ）
• C、（-

  3

  4

  ，-

  2

  3

  ）
• D、（-

  3

  2

  ，-

  4

  3

  ）

Answer 1

分析：先確定0＜g（x）＜2，作出y=|g（x）|大致圖象，設(shè)|g（x）|=t，則|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為t²+mt+2m+3=0有兩個(gè)根，且一個(gè)在（0，1）上，一個(gè)在[1，+∞）上，由此可得結(jié)論．

解答：解：∵

2x

x+1

=

2(x+1)-2

x+1

=2-

2

x+1

，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，0＜2-

2

x+1

＜2，
即0＜g（x）＜1，
則y=|g（x）|大致圖象如圖所示，
設(shè)|g（x）|=t，則|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
即為t²+mt+2m+3=0有兩個(gè)根，且一個(gè)在（0，1）上，一個(gè)在[1，+∞）上，
設(shè)h（t）=t²+mt+2m+3，
①當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí)，h（1）=1²+m+2m+3=0，解得m=-

4

3

，此時(shí)另一根為

1

3

，滿足條件．
②根不是1時(shí)，則滿足

h(0)＞0 h(1)＜0

，
∴

2m+3＞0 1+m+2m+3＜0

，
即

m＞- 3 2 m＜- 4 3

，
∴-

3

2

＜m＜-

4

3

．
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-

3

2

，-

4

3

），
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查方程根的問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．