Question

（本小題滿分14分）定義在D上的函數(shù)，如果滿足；對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界。已知函數(shù)，當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；若函數(shù)在上是以3為上界函數(shù)值，求實數(shù)的取值范圍；若，求函數(shù)在上的上界T的取值范圍。

Answer 1

（1）函數(shù)在上不是有界函數(shù)     （2）    （3）當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是      

解析:

（1）當時，.

∵在上遞增，所以，即在上的值域為.    

故不存在常數(shù)，使成立. 所以函數(shù)在上不是有界函數(shù). 

（2）∵函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，

在上恒成立. ,在上恒成立.，設，，.由,得.設，則，，所以在 上遞增，在上遞減.

在上的最大值為，在上的最小值為.

所以實數(shù)的取值范圍為.      

（3））方法一:，.∵ m>0 ，,.

∴，

∵∴.          

① 當，即時，，此時；

② 當，即時，，此時.

綜上所述，當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是      

方法二: .令，因為，所以.

.因為在上是減函數(shù)，所以.又因為函數(shù)在上的上界是，所以.當時，，;

當時，，.