Question

已知橢圓的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），直線l：x-y+5=0，則
（1）經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)P且長(zhǎng)軸長(zhǎng)最短的橢圓方程為

 

，（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)橢圓方程，然后與直線方程聯(lián)立方程組，再根據(jù)該方程組有解即可求出a的最小值，則問(wèn)題解決．
（2）根據(jù)（1）解方程25x²+10×13x+13²=0，即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入直線方程即可求得其縱坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a²＞1），
由

x2 a2 + y2 a2-1 =1 x-y+5=0

得（2a²-1）x²+10a²x+26a²-a⁴=0，
由題意，x此方程有解，∴△=（10a²）²-4（2a²-1）（26a²-a⁴）≥0，
∴a²≥13或a²≤1（舍），
∴a²_min=13，此時(shí)橢圓方程是

x2

13

+

y2

12

=1．
（2）由（1）解方程25x²+10×13x+13²=0，
得x=-

13

5

，y=

12

5

，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

13

5

，

12

5

)
故答案為：

x2

13

+

y2

12

=1；(-

13

5

，

12

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由代數(shù)方法解決直線與橢圓交點(diǎn)問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．