【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù),都有成立,且,當(dāng)時(shí),.
(1)判斷的單調(diào)性,并加以證明;
(2)試問:當(dāng)時(shí),是否有最值?如果有,求出最值;如果沒有,說明理由;
(3)解關(guān)于的不等式,其中.
【答案】(1)在上是減函數(shù),證明見解析;(2)的最大值是,最小值是;(3)當(dāng)時(shí),不等式的解集為或,當(dāng)時(shí),不等式的解集為.
【解析】
試題分析:(1)任意實(shí)數(shù),且,不妨設(shè),利用差比較法,計(jì)算,所以函數(shù)為減函數(shù);(2)在上單調(diào)遞減,所以有最大值,有最小值.利用賦值法求出;(3)化簡不等式得,由于為減函數(shù),所以,.由于,或,所以當(dāng)時(shí),,不等式的解集為或;當(dāng)時(shí),,不等式的解集為.
試題解析:
(1)在上是減函數(shù),證明如下:對(duì)任意實(shí)數(shù),且,不妨設(shè),其中,則,
∴.故在上單調(diào)遞減.………………4分
(2)∵在上單調(diào)遞減,∴時(shí),有最大值,時(shí),有最小值.在中,令,得,
故,,所以.
故當(dāng)時(shí),的最大值是3,最小值是0.………………6分
(3)由原不等式,得,
由已知有,即.
∵在上單調(diào)遞減,∴,∴.………………9分
∵,∴或.
當(dāng)時(shí),,不等式的解集為或;
當(dāng)時(shí),,不等式的解集為.………………12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了參加市高中籃球比賽,某中學(xué)決定從四個(gè)籃球較強(qiáng)的班級(jí)的籃球隊(duì)員中選出人組成男子籃球隊(duì),代表該地區(qū)參賽,四個(gè)籃球較強(qiáng)的班級(jí)籃球隊(duì)員人數(shù)如下表:
班級(jí) | 高三(7)班 | 高三(17)班 | 高二(31)班 | 高二(32)班 |
人數(shù) | 12 | 6 | 9 | 9 |
(1)現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這四個(gè)班中抽取運(yùn)動(dòng)員,求應(yīng)分別從這四個(gè)班抽出的隊(duì)員人數(shù);
(2)該中學(xué)籃球隊(duì)奮力拼搏,獲得冠軍.若要從高三年級(jí)抽出的隊(duì)員中選出兩位隊(duì)員作為冠軍的代表發(fā)言,求選出的兩名隊(duì)員來自同一班的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足,是數(shù)列的前項(xiàng)的和.
(1)若數(shù)列為等差數(shù)列.
①求數(shù)列的通項(xiàng);
②若數(shù)列滿足,數(shù)列滿足,試比較數(shù)列前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的大。
(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程.
(2)點(diǎn)P在直線l:2x-4y+3=0上,過點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)記為M,求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是實(shí)數(shù),,
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求的值;
(2)試用定義證明:對(duì)于任意,在上為單調(diào)遞增函數(shù);
(3)若函數(shù)為奇函數(shù),且不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,射影定理可表示為a=b·cosC+c·cosB.其中a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,類比上述定理.寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí),研究表明:當(dāng)20≤x≤200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某測(cè)觀點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=x·v(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為正三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),若的內(nèi)切圓的面積的最大值為,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中,注意力指數(shù)與聽課時(shí)間(單位:分鐘)之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象,當(dāng)時(shí),圖象是二次函數(shù)圖象的一部分,其中頂點(diǎn),過點(diǎn);當(dāng)時(shí),圖象是線段,其中.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí),學(xué)習(xí)效果最佳.
(1)試求的函數(shù)關(guān)系式;
(2)教師在什么時(shí)段內(nèi)安排內(nèi)核心內(nèi)容,能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳?請(qǐng)說明理由.
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