Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù){a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù){b_n}的前n項和T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N^*，試比較

Tn+1+12

4Tn

與

2log2bn+1+2

2log2bn-1

的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，移項分角因式得（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，得2a_n=a_n+1，得出數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，由a₂+a₄=2a₃+4得a₁=2，
用等比數(shù)列的通項公式得出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，得數(shù)列{b_n}是首項為4，公比是4的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n項和求出T_n，進一步表示出

Tn+1+12

4Tn

與

2log2bn+1+2

2log2bn-1

，兩者作差，不能判號的那部分用數(shù)學(xué)歸納法來證：第一步，n=1時，不等式成立，第二步，假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，下面證明n=k+1時也成立．

解答：解：（Ⅰ）因為a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1
所以數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列（2分）
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ（n∈N^*）（4分）
（Ⅱ）因b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，所以b₁=4，

bn+1

bn

=4
即數(shù)列{b_n}是首項為4，公比是4的等比數(shù)列
所以T_n=

4

3

（4ⁿ-1）（6分）
則

Tn+1+12

4Tn

=

4n+1+8

4(4n-1)

=1+

3

4n-1

又

2log2bn+1 +2

2log2bn-1

=

4n+6

4n-1

=1+

7

4n-1

Tn+1+12

4Tn

-

2log2bn+1+2

2log2bn-1

=

3

4n-1

-

7

4n-1

=

4(3n+1-7•4n-1)

(4n-1)(4n-1)

猜想：7•4^n-1＞3n+1（8分）
①當(dāng)n=1時，7•4⁰=7＞3×1+1=4，上面不等式顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式7•4^k-1＞3k+1成立（9分）
當(dāng)n=k+1時，
7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
綜上①②對任意的n∈N⁺均有7•4^n-1＞3n+1（11分）
又4ⁿ-1＞0，4n-1＞0
∴

Tn+1+12

4Tn

-

2log2bn+1 +2

2log2bn-1

＜0
所以對任意的n∈N⁺均有

Tn+1+12

4Tn

＜

2log2bn+1+2

2log2bn-1

（12分）

點評：本題難點之一是求數(shù){a_n}的通項公式時，要把題干中的等式變形得到相鄰兩項的關(guān)系；難點之二在于要計算出兩個復(fù)雜的式子，在學(xué)生的計算能力越來越弱的情況下，這個實屬不易；難點之三在于作差比較大小，得出的結(jié)果不能判別符號，不少學(xué)生在此會放棄；難點之四在于要想到用數(shù)學(xué)歸納法來證明差中的一部分．