Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=

2

，E、F、G分別A₁B₁、B₁C₁、BB₁的中點．
（1）求直線D₁B與平面ABCD所成角的大�。�
（2）求證：AC∥平面EGF．

Answer 1

分析：（1）由題意可得直線D₁B在底面ABCD內的射影為BD，故∠D₁BD 為直線D₁B與平面ABCD所成角的大小，求得tan∠D₁BD=

D1D

BD

 的值，可得∠D₁BD的值．
（2）由題意可可得EF為三角形B₁A₁C₁的中位線，故有EF平行且等于

1

2

A₁C₁，可得EF∥AC．再利用直線和平面平行的判定定理證得AC∥平面EGF．

解答：（1）證明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
故直線D₁B在底面ABCD內的射影為BD，故∠D₁BD 為直線D₁B與平面ABCD所成角的大小，
再由AB=1，D₁D=

2

，可得tan∠D₁BD=

D1D

BD

=

2

2

=1，∴∠D₁BD=

π

4

．
（2）由于E、F、G分別A₁B₁、B₁C₁、BB₁的中點，可得EF為三角形B₁A₁C₁的中位線，
故有EF平行且等于

1

2

A₁C₁．
再由A₁C₁和AC平行且相等，可得EF∥AC．
再由EF?平面EGF，而AC不再平面EGF內，故有AC∥平面EGF．

點評：本題主要考查直線和平面所成的角的定義和求法，直線和平面平行的判定定理的應用，屬于中檔題．