Question

若偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

），且在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，則關(guān)于x的方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．2個(gè)

B．3個(gè)

C．4個(gè)

D．6個(gè)

Answer 1

分析：由條件可得函數(shù)f（x）的周期等于2，f（x）=x²，x∈[-1，1]．方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=f（x）與函數(shù) y=(

1

10

)x的圖象在[-2，3]上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合得到答案．

解答：解：∵偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

），
∴f（x）=f（x+2），故函數(shù)f（x）的周期等于2．
又∵在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，且f（x）是偶函數(shù)，可得f（x）=x²，x∈[-1，1]．
關(guān)于x的方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=f（x）與函數(shù) y=(

1

10

)x的圖象
在[-2，3]上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
如圖所示：函數(shù)y=f（x）與函數(shù) y=(

1

10

)x的圖象在[-2，3]上只有3個(gè)交點(diǎn)，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．