Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿(mǎn)足此圓與相交于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線(xiàn)的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

試題分析：（I）借助題設(shè)條件建立方程組求解；（II）借助題設(shè)運(yùn)用直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系推證和探求．

試題解析：

（I）由題意得：，，

又點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，，，

∴橢圓的方程為．………………5分

（II）存在符合條件的圓，且此圓的方程為．

證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為．

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為．

由方程組得．

∵直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴，即．

由方程組得，

則．

設(shè)，則，，

設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，

∴

，將代入上式，

得．

要使得為定值，則，即，代入驗(yàn)證知符合題意．

∴當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)滿(mǎn)足為定值．

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為．

此時(shí)，圓與的交點(diǎn)也滿(mǎn)足．

綜上，當(dāng)圓的方程為時(shí)，

圓與的交點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)的斜率之積為定值．……………………12分