Question

如圖，已知，且，，（G為動(dòng)點(diǎn)）．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)P的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，且線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與EF（或EF的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交于一點(diǎn)C，求證：；
（3）若且點(diǎn)P的軌跡上存在點(diǎn)Q使得，求點(diǎn)P的軌跡的離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）以EF所在的直線(xiàn)為x軸，EF的中垂線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積可得==2a，從而可得點(diǎn)P的軌跡是以E、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓，即可求軌跡方程；
（2）設(shè)出C的坐標(biāo)，確定橫坐標(biāo)的范圍，即可證得結(jié)論；
（3）設(shè)OQ所在直線(xiàn)為所在直線(xiàn)，與橢圓方程聯(lián)立，利用，即可求點(diǎn)P的軌跡的離心率e的取值范圍．
解答：（1）解：如圖，以EF所在的直線(xiàn)為x軸，EF的中垂線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1分）
由題設(shè)2=，•=0，
∴=，而==2a，
∴點(diǎn)P的軌跡是以E、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓，
故點(diǎn)P的軌跡方程是：．（4分）
（2）證明：如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），C （x，0），
∴x₁≠x₂，且=，即（x₁-x）²+=（x₂-x）²+．①
又A、B在軌跡上，∴，
即=，（6分）
代入①整理得：2（x₂-x₁）•x=（），（8分）
∵x₁≠x₂，∴x=．（8分）
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，∴-2a≤x₁+x₂≤2a．
∵x₁≠x₂，∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴，即．（9分）
（3）解：由，即點(diǎn)M為橢圓的右頂點(diǎn)，由知直線(xiàn)OQ斜率必存在，
設(shè)OQ所在直線(xiàn)為所在直線(xiàn)為y=kx，
由，解得（其中b²=a²-c²）     （11分）
∴
由得
化簡(jiǎn)得a=（1+k²）•，（12分）
∴a²k²+b²=b²（1+k²）²
∴a²=2b²+b²k²≥2b²=2（a²-c²），
∴a²≤2c²，即
故離心率e的取值范圍是[，1）（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．