Question

下列是有關(guān)直線與圓錐曲線的命題：
①過(guò)點(diǎn)（2，4）作直線與拋物線y²=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有2條；
②過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線有且僅有兩條；
③過(guò)點(diǎn)（3，1）作直線與雙曲線

x2

4

-y2=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條；
④過(guò)雙曲線x2-

y2

2

=1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則滿足條件的直線l有3條；
⑤已知雙曲線x2-

y2

2

=1和點(diǎn)A（1，1），過(guò)點(diǎn)A能作一條直線l，使它與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)A恰為線段PQ的中點(diǎn)．
其中說(shuō)法正確的序號(hào)有______．（請(qǐng)寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）

Answer 1

①由題意可知點(diǎn)（2，4）在拋物線y²=8x上
故過(guò)點(diǎn)（2，4）且與拋物線y²=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)只能是
i）過(guò)點(diǎn)（2，4）且與拋物線y²=8x相切；ii）過(guò)點(diǎn)（2，4）且平行與對(duì)稱軸．①故正確；
②過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，
若直線AB的斜率不存在，則橫坐標(biāo)之和等于2，不適合．
故設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB為y=k（x-1）
代入拋物線y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5，
∴

2(k2+2)

k2

=5，k²=

4

3

，則這樣的直線有且僅有兩條，故②正確；
③由題意可得：雙曲線x²-y²=3的漸近線方程為：y=±

1

2

x，
所以點(diǎn)（3，1）不是雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，
所以過(guò)點(diǎn) （3，1）且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有四條，其中兩條是過(guò)點(diǎn) （3，1）并且與雙曲線相切的直線，另兩條過(guò)點(diǎn) （3，1）且平行于漸近線x+y=0的直線．故③錯(cuò)；
④∵雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，
∴過(guò)拋物線的焦點(diǎn)一定有兩條直線使得交點(diǎn)之間的距離等于4，
當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，
有3-

y2

2

=1，∴y=2，
∴直線AB的長(zhǎng)度是4，
綜上可知有三條直線滿足|AB|=4，故④正確；
⑤設(shè)過(guò)點(diǎn)B（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當(dāng)k存在時(shí)有

y=k(x-1)+1 x2- 1 2 y2=1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜

3

2

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

又B（1，1）為線段AB的中點(diǎn)
∴

x1+x2

2

=1 即

2(k-k2)

2-k2

=1，∴k=2
當(dāng)k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時(shí)，方程（1）無(wú)實(shí)數(shù)解
故過(guò)點(diǎn)m（1，1）與雙曲線交于兩點(diǎn)A、B且M為線段AB中點(diǎn)的直線不存在．
（2）當(dāng)x=1時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．故⑤錯(cuò)．
故答案為：①②④．