Question

（2006•蘇州模擬）二項(xiàng)式(x+

1

3 x

)n的展開式中，只有第5項(xiàng)系數(shù)最大，則常數(shù)項(xiàng)為

28

．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大得到n的值，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令通項(xiàng)中的x的指數(shù)為0求出r的值，將r的值代入通項(xiàng)求出展開式的常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：∵(x+

1

3 x

)n展開式中的項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同，
∵只有第5項(xiàng)系數(shù)最大
∴展開式共有9項(xiàng)
∴n=8
∴(x+

1

3 x

)n=(x+

1

3 x

)8展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 8

x8-

4r

3

令8-

4r

3

=0得r=6
∴常數(shù)項(xiàng)為C₈⁶=28

點(diǎn)評(píng)：解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，利用的工具是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；二項(xiàng)式系數(shù)的一個(gè)重要的性質(zhì)是展開式的中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．