Question

定義在R上的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）．
（1）證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)且f（5）=5，求不等式f[log2(x2-x-2)]＜2的解集．

Answer 1

分析：（1）（1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，可令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，再對x、y都賦值為0可得結(jié)論
（2）根據(jù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)且f（5）=5，可判斷出f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)且f（2）=2，進而可將不等式轉(zhuǎn)化為一個對數(shù)不等式，進而根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性，將不等式繼續(xù)轉(zhuǎn)化為一個二次不等式組，進而得到結(jié)論．

解答：解：（1）顯然f（x）的定義域是R，關(guān)于原點對稱．
又∵函數(shù)對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）由（1）中f（x）為奇函數(shù)
∴f（0）=0，
又∵f（5）=5，f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)
∴f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)
又∵f（5）=5f（1）=5，
∴f（1）=1，f（2）=2
∴不等式f[log2(x2-x-2)]＜2可化為log2(x2-x-2)＜2
即0＜x²-x-2＜4
解得-2＜x＜1或2＜x＜3
故原不等式的解集為（-2，1）∪（2，3）

點評：本題考點是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時常用的一種探究的方式，屬于中檔題．在求值和證明過程中應該體會抽象函數(shù)恒等式的用法規(guī)律，根據(jù)恒等式的結(jié)構(gòu)把已知用未知表示出來．