Question

（2011•成都一模）已知非零向量

OA

、

OB

、

OC

、

OD

滿足：

OA

=α

OB

Z+β

OC

Z+γ

OD

Z（α，β，γ∈R），B、C、D為不共線三點(diǎn)，給出下列命題：
①若α=

3

2

，β=

1

2

，γ=-1，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上；
②若α=β=γ=1，|

OB

Z|+|

OC

|+|

OD

|=1，＜

OB

，

OD

＞=＜

OC

，

OD

＞=

π

2

，＜

OB

，

OC

＞=

π

3

，則|

OA

|=2；
③已知正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*Z），若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點(diǎn)共線，但O點(diǎn)不在直線BC上，則

1

a3

+

4

a2008

的最小值為10；
④若α=

4

3

，β=-

1

3

Z，γ=0，則A、B、C三點(diǎn)共線且A分

BC

所成的比λ一定為-4
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：①根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件若

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

(α，β，γ∈R)且α+β+γ=1，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上；可知①正確；②把

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

兩邊平方，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求得|

OA

|=2故可知②正確；③根據(jù)α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點(diǎn)共線，可得a₂+a₂₀₀₉=1，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₃+a₂₀₀₈=1，利用基本不等式即可求得結(jié)果；④根據(jù)α=

4

3

，β=-

1

3

，γ=0，得A、B、C三點(diǎn)共線，再算出A分

BC

所成的比λ知④錯(cuò)．

解答：解：①若α+β+γ=1，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上；①正確；
②

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

，兩邊平方結(jié)合條件得，
|

OA

| 2=α²+β2+γ2+2αβ

OB

•

OC

=1+1+1+1=4，
則|

OA

|=2．故②對；
③若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點(diǎn)共線，
∴a₂+a₂₀₀₉=1，∴a₃+a₂₀₀₈=1，則

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9．③錯(cuò)．
④根據(jù)α=

4

3

，β=-

1

3

，γ=0，得，

OA

=

4

3

OB

-

1

3

OC

，∴

OA

-

OB

=

1

3

OB

-

1

3

OC

，
∴

BA

=

1

3

CB

，則A、B、C三點(diǎn)共線，
且A分

BC

所成的比λ為-

1

4

．故④錯(cuò)
故答案為①②．

點(diǎn)評：本題主要考查共面向量和共線向量定理以及利用基本不等式求最值等基礎(chǔ)知識和基本方法，要說明一個(gè)命題是真命題，必須給出證明，要說明其是假命題，只要舉出反例即可，同時(shí)考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計(jì)算能力．