Question

探究函數(shù)f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）的最小值，并確定相應的x的值，列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）若當x＞0時，函數(shù)f（x）=x+

4

x

時，在區(qū)間（0，2）上遞減，則在

 

上遞增；
（2）當x=

 

時，f（x）=x+

4

x

，x＞0的最小值為

 

；
（3）試用定義證明f（x）=x+

4

x

，x＞0在區(qū)間上（0，2）遞減；
（4）函數(shù)f（x）=x+

4

x

，x＜0有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？
解題說明：（1）（2）兩題的結果直接填寫在答題卷中橫線上；（4）題直接回答，不需證明．

Answer 1

分析：（1）由表中的數(shù)據(jù)可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由表中的數(shù)據(jù)可以得出函數(shù)的最值；
（3）用定義法證明單調(diào)性，可先取任意的x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，再研究f（x₁）-f（x₂）的差的符號，由定義得出函數(shù)的單調(diào)性；
（4）由于函數(shù)是一個奇函數(shù)，故可由函數(shù)的對稱性得出答案．

解答：解：（1）若函數(shù)f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）時，在區(qū)間（0，2）上遞減，則在（2，+∞） 上遞增；
（2）當x=2 時，f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）的最小值為4；---（4分）
（3）設任意的x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)(

x1x2-4

x1x2

)-----（10分）
∵x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，∴0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0f（x₁）＞f（x₂），即
∴f（x）=x+

4

x

  在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減---------------（12分）
（4）函數(shù)f（x）=x+

4

x

，x＜0有最大值，當x=-2時，最大值是-4----（14分）

點評：本意考查函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)的單調(diào)性的證明的方法--定義法，解題的關鍵是熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性的證明方法與函數(shù)的奇偶性的判斷方法，熟練掌握一些基本函數(shù)的性質(zhì)有利于快速解答本題