Question

橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上有兩點P、Q，O為原點，若OP、OQ斜率之積為-

1

4

，則|OP|²+|OQ|² 為（　�。�

A．4

B．20

C．64

D．不確定

Answer 1

分析：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）都在橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上，由OP、OQ斜率之積為-

1

4

，得出關(guān)于P，Q坐標(biāo)的關(guān)系式，|OP|2+|OQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

代入可求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）都在橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上，
則OP、OQ斜率分別為：

y1

x1

，

y2

x2

．
由OP、OQ斜率之積為-

1

4

，得：

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

4

，
即x₁x₂=-4y₁y₂，平方得(x1x2) 2=16(y1y2) 2，
又

y

2 1

=4-

1

4

x

2 1

，

y

2 2

=4-

1

4

x

2 2

，代入上式得：

x

2 1

x

2 2

=16( 4-

1

4

x

2 1

)( 4-

1

4

x

2 2

)，
化簡得：

x

2 1

+

x

2 2

=16．
∴|OP|2+|OQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

=

x

2 1

+ 4-

1

4

x

2 1

+

x

2 2

+ 4-

1

4

x

2 2

=

3 4 (x

2 1

+

x

2 2

)+8=12+8=20．
故選B．

點評：本題主要考查了利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的性質(zhì)求解橢圓的方程，解題中要具備較強的計算能力與邏輯推理能力，主要考查了考查的計算能力．