如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．

（Ⅰ）證明：AD⊥C1E；

（Ⅱ）當(dāng)異面直線AC，C1E 所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1-A1B1E的體積．

 

【答案】

(I)見解析；(II) .

【解析】

試題分析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image002.png">為動(dòng)點(diǎn)，所以需證面,即可證；（II）等體積法，由，即可求出三棱錐的體積.

試題解析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image002.png">為動(dòng)點(diǎn)，所以需證面,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image009.png">是直棱柱，所以面

又面，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image014.png">是等腰直角三角形，且為的中點(diǎn)，所以

又

所以. 面,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image019.png">面,

所以，

 (證畢)

（Ⅱ）.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image020.png">,所以,

在中，

在中，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image009.png">是直棱柱

所以是三棱錐的高

所以，三棱錐的體積為

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直的性質(zhì)；2.棱錐的體積.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高考試題數(shù)學(xué)理（四川卷）解析版 題型：解答題

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面B1DP的距離

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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