Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統(tǒng)一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續(xù)學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是

1

3

，每次測試通過與否互相獨立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
（I）求該學生考上大學的概率；
（II）如果考上大學或參加完5次測試就結束，求該生參加測試的次數為4的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“該生考上大學”的事件為事件A，其對立事件為

.

A

，結合題意得到事件

.

A

的概率，再根據對立事件的概率公式得到答案．
（Ⅱ）記“該學生恰好經過4次測試考上大學”為事件B，記“該學生前4次都沒有通過測試”為事件C，由相互獨立事件概率的乘法公式計算可得P（B）、P（C），該生參加測試的次數為4，即B∪C，由互斥事件概率的加法公式計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記“該生考上大學”的事件為事件A，其對立事件為

.

A

，
∴根據題意可得：P(

.

A

)=

C

1 5

(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5，
∴P(A)=1-[

C

1 5

•(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5]=

131

243

，
∴該學生考上大學的概率為

131

243

．
（Ⅱ）記“該學生恰好經過4次測試考上大學”為事件B，記“該學生前4次都沒有通過測試”為事件C，
則P（B）=C₃¹×（

1

3

）²×（

2

3

）²=

4

27

，
P（C）=（

2

3

）⁴=

16

81

，
該生參加測試的次數為4，即B∪C，其概率P（B∪C）=

4

27

+

16

81

=

28

81

，
則該生參加測試的次數為4的概率為

28

81

．

點評：本題考查獨立重復試驗和互斥事件的概率計算，關鍵是審清題意，明確事件之間的關系，其次注意對立事件的應用．