Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點F（1，0），點在軸上運動，點在軸上，點

為平面內(nèi)的動點，且滿足，．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設(shè)點是直線：上任意一點，過點作軌跡的兩條切線，，切點分別為，，設(shè)切線，的斜率分別為，，直線的斜率為，求證：．

 

Answer 1

（1），（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求動點軌跡方程，分四步。第一步，設(shè)所求動點坐標(biāo)，設(shè)點，，．第二步，建立等量關(guān)系，由可知，點是的中點，所以即所以點，．所以，．由，可得，第三步，化簡等量關(guān)系，即．第四步，去雜或確定取值范圍，本題就是（2）證明三直線斜率關(guān)系，實質(zhì)研究其坐標(biāo)關(guān)系. 設(shè)點，則過點的直線，聯(lián)立方程，整理得．則，化簡得．所以．又，故．

【解】（1）設(shè)點，，．

由可知，點是的中點，

所以即所以點，．

所以，． 3分

由，可得，即．

所以動點的軌跡的方程為． 5分

（2）設(shè)點，

由于過點的直線與軌跡：相切，

聯(lián)立方程，整理得． 7分

則，

化簡得．

顯然，，是關(guān)于的方程的兩個根，所以．

又，故．

所以命題得證． 10分

考點：軌跡問題的求解方法、直線和拋物線方程的位置關(guān)系