Question

【題目】已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點 在直線，（為長半軸，為半焦距）上.

（1）求橢圓的標準方程

（2）求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N.求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，定值為

【解析】

（1）由題可知，，再結(jié)合，可求出 ，從而可得橢圓的標準方程；

（2）設(shè)出以OM為直徑的圓的方程，變?yōu)闃藴史匠毯笳页鰣A心和半徑，由以OM為直徑的圓被直線截得的弦長為2，過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，即可確定出所求圓的方程；

（3）設(shè)出點的坐標，表示出及，由，得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則表示出一個關(guān)系式，又，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則得到另一個關(guān)系式，把前面得到的關(guān)系式代入，即可求出線段ON的長，從而得到線段ON的長為定值.

（1）又由點M在準線上，得

故，

從而

所以橢圓方程為

（2）以OM為直徑的圓的方程為

即

其圓心為，半徑

因為以OM為直徑的圓被直線截得的弦長為2

所以圓心到直線的距離

所以，

解得

所求圓的方程為

（3）方法一：由平面幾何知：

直線OM：，直線FN：

由得

所以線段ON的長為定值.

方法二、設(shè)，則

又

所以，為定值