Question

已知f（x）=ln（

ex-e-x

2

），則下列正確的是（　�。�

• A、非奇非偶函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)
• B、奇函數(shù)，在R上為增函數(shù)
• C、非奇非偶函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)
• D、偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)

ex-e-x

2

＞0求出函數(shù)的定義域，判斷出函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；再由作差法比較真數(shù)的大小，利用定義和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：要使f（x）有意義，則

ex-e-x

2

＞0，
即e^x-e^-x＞0，解得x＞0，則f（x）為非奇非偶函數(shù)．
設(shè)g（x）=

ex-e-x

2

，
又∵x₁＞x₂＞0時(shí)，ex₁＞ex₂，e-x₂＞e-x₁，
g（x₁）-g（x₂）=

1

2

（ex₁-ex₂）+

1

2

（e-x₂-ex₁）＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
即ln（

ex1-e-x1

2

）＞ln（

ex2-e-x2

2

），f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)先求定義域，即判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于對(duì)數(shù)比較大小，一般是先比較真數(shù)的大小，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的定義判斷．