Question

如圖1-3-6，已知在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F.

圖1-3-6

(1)求證:△ABC∽△FCD；

(2)若S_△FCD=5，BC＝10，求DE的長.

Answer 1

思路分析：第(1)問,∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF.又D是BC中點(diǎn)，ED⊥BC，

∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.

第(2)問利用相似三角形的性質(zhì)，作AM⊥BC于M，易知S_△ABC=4S_△FCD.

∴S_△ABC=20，AM=4.又∵AM∥ED，∴，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及中點(diǎn)，可以求出DE.也可運(yùn)用△ABC∽△FCD，由相似比為2，證出F是AD的中點(diǎn)，通過“兩三角形等底等高，則面積相等”，求出S_△ABC=20.

(1)證明：∵DE⊥BC，D是BC中點(diǎn)，∴EB=EC.∴∠B=∠1.

又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.∴△ABC∽△FCD.

(2)解法一：過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M.

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴ ²=4.

又∵S_△FCD=5，∴S_△ABC=20.

∵S_△ABC=BC·AM，BC=10，∴20=×10×AM.∴AM=4.

又∵DE∥AM，∴.

∵DM=DC=，BM=BD＋DM，BD=BC=5，

∴∴DE=.

解法二：作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H.

圖1-3-7

∵S_△FCD=DC·FH，又∵S_△FCD=5，DC=BC=5，

∴5=×5×FH.∴FH=2.

過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，∵△ABC∽△FCD，

∴=.∴AM=4.

又∵FH∥AM，∴==.

∴點(diǎn)H是DM的中點(diǎn).

又∵FH∥DE，∴.

∵HC=HM＋MC=，∴.∴DE=.