Question

選修4-1幾何證明選講
已知△ABC中AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧，上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），延長(zhǎng)BD至E，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
（I）求證．∠CDF=∠EDF
（II）求證：AB．AC．DF=AD．FC．FB．

Answer 1

證明：（I）∵A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分
對(duì)頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF
∵∠BAD=∠FAB
∴△BAD∽△FAB
∴
∴AB²=AD•AF
∵AB=AC
∴AB•AC=AD•AF
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF
根據(jù)割線(xiàn)定理DF•AF=FC•FB
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB
分析：（I）根據(jù)A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
（II）證明△BAD∽△FAB，可得AB²=AD•AF，因?yàn)锳B=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根據(jù)割線(xiàn)定理即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題以圓為載體，考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查等腰三角形的性質(zhì)，考查三角形的相似，屬于基礎(chǔ)題．