Question

邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，沿BD折成直二面角，過(guò)點(diǎn)A作PA⊥平面ABD，且AP=2

3

．
（Ⅰ）求證：PA∥平面DBC；
（Ⅱ）求直線PC與平面DBC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（I）取BD的中點(diǎn)O，連接CO，可得等邊△BCD中O⊥BD．根據(jù)面面垂直判定定理，由平面DBC⊥平面ABD證出CO⊥平面ABD，結(jié)合PA⊥平面ABD可得CO∥PA，最后根據(jù)線面平面的判定定理，即可證出PA∥平面DBC；
（II）根據(jù)題意，得O、A、P、C四點(diǎn)共面，因此連接AO并延長(zhǎng)交PC的延長(zhǎng)線于H．由平面DBC⊥平面ABD，證出AH⊥平面BCD，從而得到∠HCO即直線PH平面BCD所成的角．Rt△HCO中，利用正切的定義求得∠HCO=45°，即直線PC與平面DBC所成角的大小為45°．

解答：解：（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)O，連接CO，則
等邊△BCD中，可得CO⊥BD．　　　…（1分）
又∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，
CO?平面DBC，CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD．　　　　　　　 …（3分）
又∵AP⊥平面ABD，∴CO∥PA．　　　　　　  …（4分）
∵CO?平面DBC，PA?平面DBC
∴PA∥平面DBC．　…（7分）
（Ⅱ）∵CO∥PA，
∴O、A、P、C四點(diǎn)共面．
連接AO并延長(zhǎng)交PC的延長(zhǎng)線于H．
∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，AH⊥BD，
∴AH⊥平面BCD，
∴直線CO即直線PH在平面BCD內(nèi)的射影，可得∠HCO即直線PH平面BCD所成的角．　…（10分）
∵CO∥PA且OC=

1

2

PA，可得OC是△PAH的中位線．
∴OH=OA=

3

．
又∵OC=

3

，可得Rt△HCO中，tan∠HCO=

HO

OC

=1
∴∠HCO=45°，即直線PC與平面DBC所成角為45°…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面折疊問(wèn)題，求證線面平行并求直線與平面所成角的大小，著重考查了線面垂直、線面平行的判定定理和直線與平面所成角求法等知識(shí)，屬于中檔題．