Question

f（x）是定義在R上且x≠0的可導(dǎo)偶函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）+x•f′（x）＞0，f（2）=0，則f（x）＞0的解集為（　�。�

A．（-2，2）

B．（-∞，-2）∪（2，+∞）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．無(wú)法確定

Answer 1

分析：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，先求出x＞0時(shí)f（x）＞0時(shí)的解集；再利用偶函數(shù)的性質(zhì)即可求出x＜0時(shí)的解集即可．

解答：解：令g（x）=xf（x），則g^′（x）=f（x）+xf^′（x）．
①當(dāng)x＞0時(shí)，則g^′（x）=f（x）+xf^′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
可知當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）＞g（2）=0，∴xf（x）＞2f（2）=0，∴f（x）＞0，因此x＞2滿足f（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g（x）＜g（2）=0，∴xf（x）＜0，解得f（x）＜0，故不滿足f（x）＞0，應(yīng)舍去．
②∵f（x）是定義在R上且x≠0的可導(dǎo)偶函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（x）＞0的解集為x＜-2．
綜上可知：不等式f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握構(gòu)造函數(shù)法、分類討論的思想方法、函數(shù)的奇偶性及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．