已知向量
a
=(cosx+sinx，
3
cosx)，  
b
=(cosx-sinx，2sinx)，記f(x)=
a
•
b
，  x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（A）=1，且a=1，b+c=2，求△ABC的面積．
分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，求出函數(shù) f(x)=
a
•
b
=sin(2x+
π
6
)，從而得到f（x）的最小正周期．
（2）根據(jù)f（A）=1，再由sin(2x+
π
6
)=
1
2
，A為△ABC的內(nèi)角，求出角A的值，由余弦定理求出bc的值，利用S△ABC=
1
2
bcsinA求出△ABC的面積．
解答：解：（1）由題意可得，函數(shù) f(x)=
a
•
b
=cos2x-sin2x+
3
cosx•2sinx=cos2x+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
)，…（5分）
故f（x）的最小正周期為T=
2π
2
=π．…（6分）
（2）∵f（A）=1，
∴sin(2x+
π
6
)=
1
2
，又A為△ABC的內(nèi)角，
∴
π
6
＜2A+
π
6
＜
13π
6
，
∴2A+
π
6
=
5π
6
，
∴A=
π
3
…（9分）
由余弦定理得b2+c2-a2=bc，
∴（b+c）2-a2=3bc，又a=1，b+c=2
∴bc=1．  …（11分）
∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，以及余弦定理的應(yīng)用，求出函數(shù) f(x)=
a
•
b
=sin(2x+
π
6
)，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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