【題目】給定橢圓C: + =1(a>b>0),稱圓C1:x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”.已知橢圓C的離心率為 ,且經(jīng)過點(diǎn)(0,1).
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若過點(diǎn)P(0,m)(m>0)的直線l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn),且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2 ,求實(shí)數(shù)m的值.

【答案】
(1)解:記橢圓C的半焦距為c.

由題意,得b=1, = ,c2=a2+b2,

解得a=2,b=1.…(4分)


(2)解:由(1)知,橢圓C的方程為 +y2=1,圓C1的方程為x2+y2=5.

顯然直線l的斜率存在.

設(shè)直線l的方程為y=kx+m,即kx﹣y+m=0.

因?yàn)橹本l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn),

故方程組 (*)有且只有一組解.

由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.

從而△=(8km)2﹣4(1+4k2)( 4m2﹣4)=0.

化簡,得m2=1+4k2.①

因?yàn)橹本l被圓x2+y2=5所截得的弦長為2

所以圓心到直線l的距離d= =

=

由①②,解得k2=2,m2=9.

因?yàn)閙>0,所以m=3


【解析】(1)記橢圓C的半焦距為c.由題意,得b=1, = ,由此能求出a,b.(2)由(1)知,橢圓C的方程為 +y2=1,圓C1的方程為x2+y2=5.設(shè)直線l的方程為y=kx+m,由 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.由此利用根的判別式、弦長公式、圓心到直線的距離,結(jié)合知識點(diǎn)能求出m.

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