Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=a^x-1．其中a＞0且a≠1．
（1）求f（2012）+f（-2012）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，結(jié)果用集合或區(qū)間表示．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義可以得出f（-x）+f（x）=0，從而求得所求的式子的值．
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義可得f（0）=0．設(shè)xx≤0，則-x≥0，再根據(jù)條件求得此時(shí)f（x）的解析式，從而得出結(jié)論．
（3）故當(dāng)x≥0時(shí)，有-1＜2^x-1-1＜4，由此求得x的范圍．當(dāng)x＜0時(shí)，-1＜1-2^-（x-1）＜4，由此求得x的范圍．最后再把這2個(gè)x的范圍取并集，即得所求．

解答：解：（1）由奇函數(shù)的定義可得f（2012）+f（-2012）=f（2012）-f（2012）=0．
（2）設(shè)x≤0，則-x≥0，故有f（-x）=a^-x-1=-f（x），∴f（x）=1-a^-x．
由此可得 f（x）=

ax-1 ，x＞0 0 ，x=0 1-a-x ，x＜0

．
（3）由于a=2，故當(dāng)x≥0時(shí)，有-1＜2^x-1-1＜4，即0＜2^x-1＜5，所以x∈（0，log₂10）．
當(dāng)x＜0時(shí)，-1＜1-2^-（x-1）＜4，所以，不等式無(wú)解
綜上所述，不等式的解集為 （0，log₂10）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、求函數(shù)的解析式、以及對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．