Question

如圖，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線(xiàn)相切
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l₂與圓M交于P，Q兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，故，所以BC得方程為，由此入手能得到所求的橢圓方程．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213317847246619/SYS201310232133178472466017_DA/5.png">，所以∠PMQ=120°．所以M到直線(xiàn)l₂的距離等于1．依題意，直線(xiàn)l₂的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l₂：y=k（x+2），所以，由此能得到所求的直線(xiàn)l₂的方程．
解答：解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即（2分）
所以A（-2c，0），，故，
所以BC得方程為（4分）
令y=0，得x=3c，即C（3c，0），所以圓M的半徑為，圓心M（c，0）
因?yàn)閳AM恰好與直線(xiàn)相切，
所以=2c，∴c=1，∴a=2，b=
故所求的橢圓方程為（8分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213317847246619/SYS201310232133178472466017_DA/18.png">，
所以∠PMQ=120°．所以M到直線(xiàn)l₂的距離等于1（11分）
依題意，直線(xiàn)l₂的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l₂：y=k（x+2），即kx-y+2k=0
所以，解得，
故所求的直線(xiàn)l₂的方程為（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．