Question

一直線被兩直線L₁：4x+y+6=0，L₂：3x-5y-6=0截得線段中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，求這條直線的方程．

Answer 1

分析：截得的線段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)．∴直線與L₁：4x+y+6=0，L₂：3x-5y-6=0的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，交點(diǎn)適合兩直線，聯(lián)立方程，又因?yàn)檫^原點(diǎn)，因而消去常數(shù)可得所求直線方程．

解答：解：設(shè)所求直線與l₁、l₂的交點(diǎn)分別是A、B，設(shè)A（x₀，y₀）．
∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B（-x₀，-y₀）．
又∵A、B分別在l₁、l₂上，
∴

4x0+y0 +6=0…① -3x0+5y0-6=0…②

①+②得x₀+6y₀=0，即點(diǎn)A在直線x+6y=0上，又直線x+6y=0過原點(diǎn)，
∴直線l的方程是x+6y=0．
故所求直線方程是x+6y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題解答比較有技巧，兩次利用過原點(diǎn)這一條件，同時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程，來求直線方程．除此之外：此線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)所求直線為y=ax它與L₁：y=-4x-6=ax的解x₁； L₂：y=

3x-6

5

=ax的解x₂，由題意知x₂=-x₁，就可以算出a，從而取得直線方程．