Question

如圖，假設(shè)河的一條岸邊為直線MN，又AC⊥MN于C，點(diǎn)B、D在MN上．先需將貨物從A處運(yùn)往B處，經(jīng)陸路AD與水路DB．已知AC=10公里，BC=30公里，又陸路單位距離的運(yùn)費(fèi)是水路運(yùn)費(fèi)的兩倍，為使運(yùn)費(fèi)最少，D點(diǎn)應(yīng)選在距離C點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

Answer 1

分析：設(shè)CD=x公里，設(shè)水路運(yùn)價(jià)每公里為a元，則陸路運(yùn)價(jià)為每公里2a元，然后根據(jù)題意建立運(yùn)費(fèi)關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后利用判別式法求函數(shù)的最值，從而求出所求．

解答：解：設(shè)CD=x公里，設(shè)水路運(yùn)價(jià)每公里為a元，則陸路運(yùn)價(jià)為每公里2a元，運(yùn)費(fèi)為y，
∴運(yùn)費(fèi)y=2a

x2+100

+a(30-x)（0≤x≤30）
令z=2

x2+100

-x，
則z+x=2

x2+100

，平方得3x²-2zx+（400-z²）=0
由x∈R，得△=4z²-4×3（400-z²）≥0
由z≥0 解得z≥10

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

10 3

3

時(shí) z=10

3

因此當(dāng)x=

10 3

3

時(shí)y有最小值，
故當(dāng)CD=

10 3

3

公里時(shí)，運(yùn)費(fèi)最少．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及利用判別式求函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．