Question

（09年西城區(qū)抽樣文）（14分）

    如圖，在直三棱柱中，，D、E分別是AA₁、B₁C的中點(diǎn).

(Ⅰ) 求證：平面；

 (Ⅱ) 求異面直線與所成角的大小；

(Ⅲ) 求二面角C-B₁D-B的大小.

Answer 1

解析：方法一：（Ⅰ）證明：如圖，設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連接EG，AG，

在中，，

      ，且，

      又，且，       

      ，

      四邊形為平行四邊形，

      ，                                     ------------------------2分

      又平面ABC，平面ABC，

      平面.                                --------------------------4分

（Ⅱ）解：如圖，設(shè)F為BB₁的中點(diǎn)，連接AF，CF，

      直三棱柱，且D是AA₁的中點(diǎn)，

      ，

      為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.           -------------------7分

     在Rt中，，AB=1，BF=1，

     ，同理，

     在中，，

     在中，，

.

     異面直線與所成的角為.                  ----------------------9分

（Ⅲ）解：直三棱柱，，

      又，

平面.                                ----------------------10分

如圖，連接BD，

在中，，

，即，

是CD在平面內(nèi)的射影，

，

為二面角C-B₁D-B的平面角.                   --------------------12分

在中, , BC=1, ，

,

二面角C-B₁D-B的大小為.                  --------------------14分

  方法二：（Ⅰ）同方法一.                                 ----------------------4分

（Ⅱ）如圖，以B為原點(diǎn)，BC、BA、BB₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

 則，

        ,                    ----------------------6分

，

異面直線與所成的角為.               ----------------------9分

（Ⅲ）解：直三棱柱，，

      又，

平面.         ---------------------------10分                         

如圖，連接BD，

在中，，

，即，

是CD在平面內(nèi)的射影，

，

      為二面角C-B₁D-B的平面角.                -----------------------12分

，

，

         二面角C-B₁D-B的大小為.             ------------------------14分