Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F為CD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成銳二面角的大�。�

 

Answer 1

【答案】

(1)要證明面面垂直 ，則要通過判定定理，先證明DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF，以及AF⊥CD，從而得到證明。

(2) 45°

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．

又∵AC=AD，F為CD中點(diǎn)，∴AF⊥CD，

因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.                              ……………… 4分

（Ⅱ）取CE的中點(diǎn)Q，連接FQ，因?yàn)?i>F為CD的中點(diǎn)，則FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA兩兩垂直，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，

則F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．

設(shè)面BCE的法向量，則

即取．

又平面ACD的一個(gè)法向量為，

∴ ．

∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°．

考點(diǎn)：空間中二面角和線面垂直的證明

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定定理以及二面角的定義來分析求解，屬于基礎(chǔ)題 。