Question

直線y=ex+b（e為自然對數的底數）與兩個函數f（x）=e^x，g（x）=lnx的圖象至多有一個公共點，則實數b的取值范圍是     ．

Answer 1

【答案】分析：直線與兩個函數的圖象至多有一個公共點，可以分為①與f（x）=e^x的圖象有一個公共點，且與g（x）=lnx的圖象沒有公共點；以及②與g（x）=lnx的圖象有一個公共點與f（x）=e^x的圖象沒有公共點；③和與兩個函數的圖象都沒有公共點三種情況．
解答：解：當y=ex+b與函數f（x）=e^x有一個公共點時，轉化為ex+b=e^x只有一個根，令F（x）=e^x-（ex+b），則其導函數為F^/（x）=e^x-e，所以F^/（x）＞0時x＞1，F^/（x）＜0時x＜1，則F（x）在x=1時取極小值F（1）=-b，所以當y=ex+b與函數f（x）=e^x有一個公共點時須-b=0，即b=0．當y=ex+b與函數f（x）無公共點時須-b＞0，即b＜0．
同理可得y=ex+b與g（x）=lnx有一個公共點時，b=-2，當y=ex+b與函數g（x）=lnx無公共點時，b＞-2．
故與f（x）=e^x的圖象有一個公共點，且與g（x）=lnx的圖象沒有公共點成立時b=0，
與g（x）=lnx的圖象有一個公共點與f（x）=e^x的圖象沒有公共點成立時b=-2，
與兩個函數的圖象都沒有公共點成立時-2＜b＜0，
綜上可知[-2，0]
故答案為：[-2，0]
點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性及對應方程根的問題，體現了導數在研究方程中的應用