Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）為了加快經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某省選擇A、B兩城市作為龍頭帶動(dòng)周邊城市的發(fā)展，決定在A、B兩城市的周邊修建城際輕軌，假設(shè)10km為一個(gè)單位距離，A、B兩城市相距8個(gè)單位距離，設(shè)城際輕軌所在的曲線為E，使輕軌E上的點(diǎn)到A、B兩市的距離之和為10個(gè)單位距離．
（1）建立直角坐標(biāo)系，求城際輕軌所在曲線E的方程；
（2）若要在曲線E上建一個(gè)加油站M與一個(gè)收費(fèi)站N，使M、N、B三點(diǎn)在一條直線上，并且AM+AN=12個(gè)單位距離，求M、N之間的距離有多少個(gè)單位距離？
（3）在A、B兩城市之間有一條與AB所在直線成45°的筆直公路l，直線l與曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形PAQB的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）以AB為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系．設(shè)曲線E上點(diǎn)P（x，y），由|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，能求出曲線E的方程．
（2）由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，知|MN|=8．
（3）將y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0．設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=

9t

17

，y₁y₂=

9t2-25×9

34

．由此能求出當(dāng)t=0時(shí)，面積最大是

60

17

34

，此時(shí)直線為l：y=x．

解答：解：（1）以AB為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)曲線E上點(diǎn)P（x，y），
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8
∴動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，
且a=5，c=4，從而b=3．
∴曲線E的方程為

x2

25

+

y2

9

=1．（4分）
（2）∵|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，
|AM|+|AN|=12，
所以|MN|=8．（8分）
（3）將y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，
得34y²-18ty+9t²-25×9=0．
設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

9t

17

，y₁y₂=

9t2-25×9

34

．
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

17

50×9×17-9×25t2

，
S=S_△ABP+S_△ABQ=

1

2

AB•|y₁-y₂|=

8

34

50×9×17-9×25t2

，
所以當(dāng)t=0時(shí)，面積最大是

60

17

34

，
此時(shí)直線為l：y=x．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．