【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是 ，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大��；
（3）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．

【答案】
（1）解：設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB1中點(diǎn)，

∵D為AC中點(diǎn)，∴PD∥B1C．

又∵PD平面A1BD，B1C平面A1BD

∴B1C∥平面A1BD


（2）解：∵正三棱住ABC﹣A1B1C1，

∴AA1⊥底面ABC．

又∵BD⊥AC

∴A1D⊥BD

∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角．

∵AA1= ，AD= AC=1

∴tan∠A1DA=

∴∠A1DA= ，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是


（3）解：由（2）作AM⊥A1D，M為垂足．

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BD⊥平面A1ACC1，

∵AM平面A1ACC1，

∴BD⊥AM

∵A1D∩BD=D

∴AM⊥平面A1DB，連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角．

∵AA1= ，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA= ，

∴AM=1×sin60°= ，AP=AB1= ．

∴sin∠APM=

∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為


【解析】（1）由題意及題中P為AB1中點(diǎn)和D為AC中點(diǎn)，中點(diǎn)這樣信息，得到線線PD∥B1C平行，在利用PD平面A1BD線面平行，利用線面平行的判定定理得到線面B1C∥平面A1BD平行；（2）有正三棱柱及二面角平面角的定義，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大��；（3）利用條件及上兩問的證題過成找到∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的線面角，然后再三角形中解出即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則即可以解答此題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= +a（a∈R）為奇函數(shù)
（1）求a的值；
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）+1=t有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）若f（1）＞0，試求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；
（2）若f（1）= ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．

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【題目】已知命題p：x∈[1，2]，x2≥a；命題q：x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命題p∧q是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.a≤﹣2或a=1
B.a≤﹣2或1≤a≤2
C.a≥1
D.﹣2≤a≤1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）處的切線的斜率分別是kA ， kB ， 規(guī)定φ（A，B）= 叫曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題： 1）函數(shù)y=x3﹣x2+1圖象上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，2，則φ（A，B）＞ ；
2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；
3）設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點(diǎn)，則φ（A，B）≤2；
4）設(shè)曲線y=ex上不同兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，1）；
以上正確命題的序號(hào)為（寫出所有正確的）

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【題目】已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2+ ，則f（﹣1）=（ ）
A.2
B.1
C.0
D.﹣2

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【題目】已知函數(shù)y=f（x）（x≠0）對(duì)于任意的x，y∈R且x，y≠0滿足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1），f（﹣1）的值；
（2）求證：y=f（x）為偶函數(shù)；
（3）若y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式 ．

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（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）若f（x）≤1，求x的取值范圍．

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