Question

【題目】已知點(diǎn)A（﹣ ，0），B（ ，0），動點(diǎn)E滿足直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ ．
（1）求動點(diǎn)E的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線l1與曲線C交于點(diǎn)P，Q，記點(diǎn)P到直線l2：x=2的距離為d．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）過點(diǎn)F作直線l1的垂線交直線l2于點(diǎn)M，求證：直線OM平分線段PQ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)E（x，y），

依題意得 ，

整理得 ，

∴動點(diǎn)E的軌跡C的方程為 ．

（2）解：（ⅰ）F（1，0），設(shè)P（x1，y1）則 ，

∴ =

= ．

（ⅱ）依題意，設(shè)直線PQ：x=my+1，Q（x2，y2），

聯(lián)立 可得（2+m2）y2+2my﹣1=0，

顯然 ，

所以線段PQ的中點(diǎn)T坐標(biāo)為 ，

又因?yàn)镕M⊥l1故直線FM的方程為y=﹣m（x﹣1），

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣m），

所以直線OM的方程為： ，

因?yàn)? 滿足方程 ，

故OM平分線段PQ．

【解析】（1）直譯法，利用斜率公式可求軌跡方程；（2）先設(shè)出直線l1的方程，然后帶入橢圓方程，通過消元化簡得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線距離公式將所求表示出來，帶入結(jié)論化簡即可；（3）要證結(jié)論，只需分別求出直線OM的方程，PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后證明坐標(biāo)適合方程即可．