Question

已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

（其中x∈R），求：
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x ）的解析式為 5sin（2x-

π

3

），故此函數(shù)的周期為 T=

2π

2

=π．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍即為增區(qū)間，由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍即為減區(qū)間．
（3）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z 求得對(duì)稱軸方程：x=

kπ

2

+

5π

12

，由 2x-

π

3

=kπ，k∈z 求得對(duì)稱中心（

kπ

2

+

π

6

，0）．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

=

5

2

sin2x-

5 3

2

(1+cos2x)+

5

2

3

=5（

1

2

 sin2x-

3

2

cos2x）=5sin（2x-

π

3

），故此函數(shù)的周期為 T=

2π

2

=π．   
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
故增區(qū)間為：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，
故減區(qū)間：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，其中k∈z．
（3）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z 可得 x=

kπ

2

+

5π

12

，故對(duì)稱軸方程：x=

kπ

2

+

5π

12

．
由 2x-

π

3

=kπ，k∈z 可得 x=

kπ

2

+

π

6

，故對(duì)稱中心：（

kπ

2

+

π

6

，0），其中，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性，把函數(shù)f（x）的解析式化為 5sin（2x-

π

3

） 是解題的突破口，屬于中檔題．