Question

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查分析，某旅游城市在上月內(nèi)（以30天計(jì)算），第t天旅游人數(shù)S（萬(wàn)人）與時(shí)間t滿足：S-4與t成反比，且上月第20天旅游人數(shù)為4.05萬(wàn)人，又第t天旅游人均消費(fèi)M（元）與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示．
（I）求該城市上月的旅游日收益y（萬(wàn)元）與時(shí)間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關(guān)系式；
（II）求y的最小值；
（Ⅲ）問(wèn)該城市上月內(nèi)哪幾天旅游日收益不低于481萬(wàn)元？
（注：旅游日收益=日旅游人數(shù)×日旅游人均消費(fèi)）

Answer 1

分析：（I）由題意可設(shè)S-4=

k

t

，將t=20，S=4.05代入，求出k，根據(jù)圖象求出M，從而根據(jù)旅游日收益=日旅游人數(shù)×日旅游人均消費(fèi)求出旅游日收益；
（II）當(dāng)1≤t≤20，t∈N時(shí)利用基本不等式進(jìn)行求最值，當(dāng)21≤t≤30，t∈N時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；
（III）根據(jù)分段函數(shù)的意義可在每一段上建立不等式，解出符合條件的t，問(wèn)題即可得解．

解答：解：（I）由題意可設(shè)S-4=

k

t

，
將t=20，S=4.05代入，得k=1，所以S=

1

t

+4．（2分）
由圖象可得M=

100+t  (1≤t≤20，t∈N) 140-t  (21≤t≤30，t∈N).

（4分）
所以旅游日收益y=

(100+t)( 1 t +4)  (1≤t≤20，t∈N) (140-t)( 1 t +4)  (21≤t≤30，t∈N).

=

100 t +4t+401  (1≤t≤20，t∈N) 140 t -4t+559  (21≤t≤30，t∈N).

（II）當(dāng)1≤t≤20，t∈N時(shí)，y=

100

t

+4t+401≥2

100 t •4t

+401=441
當(dāng)且僅當(dāng)

100

t

=4t，即t=5時(shí)取到等號(hào)．（8分）
當(dāng)21≤t≤30，t∈N時(shí)，因?yàn)?span id="wo2cycw" class="MathJye">y′=-

140

t2

-4＜0，
所以y=

140

t

-4t+559在21≤t≤30，t∈N是單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t=30時(shí)，ymin=443

2

3

．（10分）
綜上可知，上月在第5天旅游日收益的最小值為441元．（11分）
（Ⅲ）當(dāng)1≤t≤20，t∈N時(shí)，由

100

t

+4t+401≥481，得t²-20t+25≥0，
解得t≥10+5

3

或t≤10-5

3

，所以t=19，20，1．（13分）
當(dāng)21≤t≤30，t∈N時(shí)，由

140

t

-4t+559≥481，得2t²-39t-70≤0，
解得

39-4 130

4

≤t≤

39+4 130

4

，所以t=21．（15分）
綜上可知，該城市上月第1、19、20、21四個(gè)旅游日收益不低于481萬(wàn)元．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況選擇函數(shù)類型的能力，以及基本不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用能力．