Question

（2013•石家莊二模）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最大值為（　　）

• A．0
• B．

  4

  3

• C．

  3

  2

• D．3

Answer 1

分析：圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，即 （x-4）²+y²=1，表示以C（4，0）為圓心，半徑等于1的圓．由題意可得，直線y=kx-2和圓C′：即 （x-4）²+y²=4 有公共點(diǎn)，由點(diǎn)C′到直線y=kx-2的距離為 d=

|4k-0-2|

k2+1

≤2，求得實(shí)數(shù)k的最大值．

解答：解：圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，即 （x-4）²+y²=1，表示以C（4，0）為圓心，半徑等于1的圓．
要使直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有交點(diǎn)，
只要直線y=kx-2和圓C′：即 （x-4）²+y²=4 有公共點(diǎn)即可，
由點(diǎn)C′到直線y=kx-2的距離為 d=

|4k-0-2|

k2+1

≤2，3k²-4k≤0，
解得 0≤k≤

4

3

，故k的最大值為

4

3

，
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．