Question

焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且互相垂直的直線l₁，l₂分別與橢圓交于A，B和C，D，是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程，利用離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1），建立方程，從而可求橢圓方程；．
（2）問(wèn)題等價(jià)于=λ，即是否是定值問(wèn)題，分類討論，利用韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)，化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），則
∵離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1）．
∴，，
∴a²=8，b²=4，故橢圓方程是．
（2）問(wèn)題等價(jià)于=λ，即是否是定值問(wèn)題．
橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±2，0），不妨取焦點(diǎn)（2，0），當(dāng)直線AB的斜率存在且不等于零時(shí)，
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程是y=k（x-2），
代入橢圓方程并整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，．
根據(jù)弦長(zhǎng)公式，|AB|==
以-代換k，得|CD|==
所以==
即|AB|+|CD|=|AB|•|CD|．
當(dāng)直線AB的斜率不存在或等于零時(shí)，|AB|，|CD|一個(gè)是橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度，一個(gè)是通徑長(zhǎng)度，
此時(shí)==，即|AB|+|CD|=|AB|•|CD|．
綜上所述，故存在實(shí)數(shù)λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．