Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=
（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： a= 時(shí)，f（x）= ，

當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=x2﹣3x是減函數(shù)，所以f（x）＞f（1）=﹣2，即x＜1時(shí)，f（x）的值域是（﹣2，+∞）．

當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）= 是減函數(shù)，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1時(shí)，f（x）的值域是（﹣∞，0]．

于是函數(shù)f（x）的值域是（﹣∞，0]∪（﹣2，+∞）=R．

（2）解：若函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，則下列①②③三個(gè)條件同時(shí)成立：

①當(dāng)x＜1，f（x）=x2﹣（4a+1）x﹣8a+4是減函數(shù)，于是 ≥1，則a≥ ．

②x≥1時(shí)，f（x）= 是減函數(shù)，則0＜a＜1．

③12﹣（4a+1）1﹣8a+4≥0，則a≤ ．

于是實(shí)數(shù)a的取值范圍是[ ， ]

【解析】（1）a= 時(shí)，f（x）= ，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=x2﹣3x是減函數(shù)，可求此時(shí)函數(shù)f（x）的值域；同理可求得當(dāng)x≥1時(shí)，減函數(shù)f（x）= 的值域；（2）函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，三個(gè)條件需同時(shí)成立，① ≥1，②0＜a＜1，③12﹣（4a+1）1﹣8a+4≥0，從而可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)的值的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題．