Question

某企業(yè)生產A、B兩種產品，根據市場調查與預測，A產品的月利潤y=f（x）與投資額x成正比，且投資4萬元時，月利潤為2萬元；B產品的月利潤y=g（x）與投資額x的算術平方根成正比，且投資4萬元時，月利潤為1萬元．（允許僅投資1種產品）
（1）分別求出A、B兩種產品的月利潤表示為投資額x的函數關系式；
（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大的月利潤，最大月利潤是多少？（結果用分數表示）
（3）在（2）的條件下，能否保證企業(yè)總能獲得2萬元以上的月利潤，為什么？

Answer 1

分析：（1）設出函數解析式，利用投資4萬元時，A產品的月利潤為2萬元；投資4萬元時，B產品的月利潤為1萬元，可求函數解析式；
（2）將企業(yè)獲利表示成對產品B投資x的函數，再用換元法，將函數轉化為二次函數，即可求出函數的最值；
（3）分別求出利潤，即可得到結論．

解答：解：（1）投資為x萬元，A產品的利潤為f（x）萬元，B產品的利潤為g（x）萬元，
由題設f（x）=k₁x，g（x）=k₂

x

，（k₁，k₂≠0；x≥0）
∵投資4萬元時，A產品的月利潤為2萬元，∴f（4）=2，∴k₁=

1

2

∵投資4萬元時，B產品的月利潤為1萬元，∴g（4）=1，∴k₂=

1

2

         
從而f（x）=

1

2

x，g（x）=

1

2

x

（x≥0）；
（2）設A產品投入x萬元，則B產品投入10-x萬元，設企業(yè)的利潤為y萬元
y=f（x）+g（10-x）=

1

2

x+

1

2

10-x

，（0≤x≤10），
令

10-x

=t（0≤t≤

10

），則y=-

1

2

(t-

1

2

)2+

41

8

∴t=

1

2

時，y_max=

41

8

，此時x=9.75
∴當A產品投入9.75萬元，B產品投入0.25萬元時，企業(yè)獲得最大利潤約為

41

8

萬元；
（3）由（2）知，A產品的利潤為

39

8

萬元；B產品的利潤為

1

4

萬元，故不能保證企業(yè)總能獲得2萬元以上的月利潤．

點評：本題考查利用待定系數法求函數的解析式、考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題．解題的關鍵是換元，利用二次函數的求最值的方法求解．