Question

已知，，且直線與曲線相切．

（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）（�。┊�(dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得任意個(gè)實(shí)數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有成立；

（ⅱ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（�。�13；（ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由直線與曲線相切可以求出中的參數(shù).再由對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即在上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，研究其導(dǎo)函數(shù)以確定其單調(diào)性，從而得到其最小值1.又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）（�。┫韧ㄟ^導(dǎo)函數(shù)確定在上是增函數(shù)，從而得到在上的最大值.由題意，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值.經(jīng)計(jì)算知時(shí)不等式右邊取得最小值，然后代入不等式，解得．因此，的最大值為；（ⅱ）根據(jù)（1）的推導(dǎo)時(shí)，，從而，再通過令代入化簡(jiǎn)即可得證.

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有

．      （*）

，．   （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．    1分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．    2分

設(shè)，，

，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，

，是增函數(shù)，，．

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．     4分

（2）（�。┊�(dāng)時(shí)，，

，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．

要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．

，解得．因此，的最大值為．  8分

（ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，

即．令，得，

化簡(jiǎn)得，

．  13分

考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的單調(diào)性與最值；3.不等式.