Question

_21.我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.

如圖，點(diǎn)、、是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，、和、分別是“果圓”與、軸的交點(diǎn).

（1）若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

    （2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；

（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為

    ，.                                                 

（2）由題意，得  ，即.

         ，，得.      

又.  .         

    （3）設(shè)“果圓”的方程為，.

    記平行弦的斜率為.

當(dāng)時(shí)，直線與半橢圓的交點(diǎn)是

，與半橢圓的交點(diǎn)是.

 的中點(diǎn)滿足

得 .                                                                            

     ，.

    綜上所述，當(dāng)時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上. 

    當(dāng)時(shí)，以為斜率過的直線與半橢圓的交點(diǎn)是.  

由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上.                                                                                              

    當(dāng)時(shí)，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上.