Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分別是BC、A₁D₁的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD₁的中點(diǎn)，AD=A₁A₁=a，Ab=2a，
（Ⅰ）求證：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證MN∥面ADD₁A₁，取CD的中點(diǎn)K，連接MK，NK，只需證面MNK∥面ADD₁A₁，根據(jù)面面平行的判定定理可知只需在一個(gè)平面內(nèi)找兩相交直線與另一平面平行，MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁，MN∩NK=N，滿足定理?xiàng)l件．
（Ⅱ）設(shè)F為AD的中點(diǎn)，作FH⊥AE，交AE于H，連接PH，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠PHF為二面角P-AE-D的平面角，在Rt△PFH中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：取CD的中點(diǎn)K，連接MK，NK
∵M(jìn)，N，K分別為AK，CD₁，CD的中點(diǎn)
∵M(jìn)K∥AD，NK∥DD₁
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∴面MNK∥面ADD₁A₁
∴MN∥面ADD₁A₁
（Ⅱ）設(shè)F為AD的中點(diǎn)
∵P為A₁D₁的中點(diǎn)∴PF∥DD₁
∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，連接PH，則由三垂線定理得AE⊥PH
從而∠PHF為二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中，AF=

a

2

，EF=2a，AE=

17

2

a，從而FH=

AF•EF

AE

=

a 2 •2a

17 2 a

=

2a

17

在Rt△PFH中，tan∠PFH=

PF

FH

=

DD1

FH

=

17

2

故：二面角P-AE-D的大小為arctan

17

2

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查長(zhǎng)方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間想象能力和推理能力．