Question

（2013•西城區(qū)一模）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求BC與平面EAC所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段ED上是否存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又AC⊥FB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用

CB

與平面ACE的法向量

n

所成的角即可得出；
（Ⅲ）分別求出兩個平面的法向量

m

，

n

，若此兩個平面垂直，則必有

m

•

n

=0有解，否則兩個平面不垂直．

解答：（Ⅰ）證明：不妨設(shè)BC=1，
∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得 AC²=2²+1²-2×2×1×cos60°=3，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．
∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．
∴CA，CF，CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
設(shè)BC=1，所以C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)．
∴

CE

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CA

=(

3

，0，0)，

CB

=(0，1，0)．
設(shè)平面EAC的法向量為n=（x，y，z），則有

n• CE =0 n• CA =0.

∴

3 2 x- 1 2 y+z=0 3 x=0.

取z=1，得n=（0，2，1）．
設(shè)BC與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

CB

，

n

＞|=

| CB • n |

| CB | | n |

=

2 5

5

．
所以 BC與平面EAC所成角的正弦值為

2 5

5

．
（Ⅲ）解：線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC．證明如下：
假設(shè)線段ED上存在點Q，設(shè) Q(

3

2

，-

1

2

，t)（0≤t≤1），所以

CQ

=(

3

2

，-

1

2

，t)．
設(shè)平面QBC的法向量為

m

=（a，b，c），則有

m • CB =0 m • CQ =0

，
所以 

b=0 3 2 a- 1 2 b+tc=0.

取 c=1，得

m

=(-

2

3

t，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需

m

•

n

=0，
即 -

2

3

t×0+0×2+1×1=0，此方程無解．
所以線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用平面的法向量表示線面角和二面角公式、余弦定理和勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．