Question

選做題：坐標系與參數方程
已知直線l經過點P（2，3），傾斜角α=

π

6

，
（Ⅰ）寫出直線l的參數方程．
（Ⅱ）設l與圓x²+y²=4相交與兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之和．

Answer 1

分析：（1）根據直線的參數方程的特征及參數的幾何意義，直接寫出直線的參數方程．
（2）設點A，B的坐標分別為A(2+

3

2

t1，3+

1

2

t1)，B(2+

3

2

t2，3+

1

2

t2)，把直線L的參數方程代入圓的方程x²+y²=4整理得到t2+(3+2

3

)t+9=0①，由根與系數的關系
可得 t1+t2=-3-2

3

，由t的幾何意義可知|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂），從而求得結果．

解答：解：（1）由于過點（a，b） 傾斜角為α 的直線的參數方程為 

x=a+ t •cosα y=b + t•sinα

    (t是參數)，
∵直線l經過點P（2，3），傾斜角α=

π

6

，故直線的參數方程是

x=2+ 3 2 t y=3+ 1 2 t

(t是參數)．…（5分）
（2）因為點A，B都在直線l上，所以可設它們對應的參數為t₁和t₂，則點A，B的坐標分別為A(2+

3

2

t1，3+

1

2

t1)，B(2+

3

2

t2，3+

1

2

t2)．
把直線L的參數方程代入圓的方程x²+y²=4整理得到t2+(3+2

3

)t+9=0①，…（8分）
因為t₁和t₂是方程①的解，從而t1+t2=-3-2

3

，
由t的幾何意義可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-t1-t2=3+2

3

． …（10分）

點評：本題主要考查直線的參數方程，以及直線的參數方程中參數的幾何意義，直線和圓的位置關系的應用，屬于基礎題．